SUCESIÓN DE FIBONACCI

En Matemática, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.

A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo Da Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.

La sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas. Para que resulte más sencillo las hemos enunciado en casos particulares (aunque se cumplen en general) y hemos calculado los primeros catorce términos de esta sucesión:

t1	t2	t3	t4	t5	t6	t7	t8	t9	t10	t11	t12	t13	t14
1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377

• Si sumas los cuatro primeros términos y añades 1, te sale el sexto (1+1+2+3   + 1 = 8). Si sumas los cinco primeros términos y añades 1, te sale el séptimo (1+1+2+3+5     +  1 = 13).
• Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar (t₁,t₃,t₅) sale el sexto término (t₆), (1+2+5 = 8). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición impar (t₁,t₃,t₅,t₇) sale el octavo término (t₈), (1+2+5+13 = 21).
• Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición par (t₂,t₄,t₆) y añades 1, sale el séptimo término (t₇), (1+3+8   + 1 =13). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición par (t₂,t₄,t₆,t₈) y añades 1, sale el noveno término (t₉), (1+3+8+21  +  1 =34).

¡Aún las hay más difíciles de imaginar! 

• Tomemos dos términos consecutivos, por ejemplo: t₄=3 y t₅=5; elevando al cuadrado y sumando: 3²+5²=9+25=34 que es el noveno (4+5) término de la sucesión. Tomando t₆=8 y t₇=13; elevando al cuadrado y sumando: 8²+13²=64+169=233 que es el (6+7) decimotercer término de la sucesión.
• Pero si elevamos al cuadrado los cinco primeros términos y los sumamos, sale el producto del quinto y el sexto término: 1²+1²+2²+3²+5²=40=5*8. Si hacemos lo mismo para los seis primeros términos, sale el producto del  sexto y el séptimo término:1²+1²+2²+3²+5²+8²=104=8*13.
• Y quizás la más sorprendente sea la siguiente propiedad. Dividamos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos:

1  : 1   =  1   
   2  : 1   =  2
   3  : 2   =  1´5
   5  : 3   =  1´66666666
   8  : 5   =  1´6
  13 : 8   =  1´625
  21 :13  =  1´6153846....
  34 :21  =  1´6190476....
  55 :34  =  1´6176471....
  89 :55  =  1´6181818....

 Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de oro. Cuanto mayores son los términos, los cocientes se acercan más a =1,61803.... En lenguaje matemático,

Efectivamente,
                      

• • La espiral logarítmica
    Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.
    
    Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.
    La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.

    • 
      

    
    

    • En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.