Números Mórficos: junio 2011

martes, 7 de junio de 2011

CONCLUSIÓN

En todo orden natural podemos encontrar las proporciones divinas que dan como resulttado el numero Φ. El hombre adopto esta proporción y muchas otras y las llevó a la construcción de la belleza, en sus edificios, obras de arte, monumentos, etc.

También esta el canón cordobés, el número plástico, etcétera, que a igual que el número aúreo fue llamado de proporciones armoniosas y utilizado en algunas construcciones y obras de arte.

Entonces...¿es posible afirmar que hay alguna proporción que sea más armoniosa o más natural que otra?

Definitivamente si. El número o proporción aúrea se encuentra en el orden natural a diferencia de muchos otros.

El número Plateado

El número de oro se encuentra en la familia de los números metálicos. además de este, hallamos al número de plata...

La proporción de plata es un constante matemática irracional, equivale aproximadamente a:

θ:=1+√2

y equivale a:2,414213....

Su nombre es una alusión a la razón áurea; análoga a la forma en que el número áureo es la proporción limitante de la sucesión de Fibonacci, el número plateado es la proporción limitante de la sucesión de Pell.

En las matemáticas y en las artes, dos cantidades están en proporción de plata, si la relación entre la suma de la menor más el doble de la mayor de las cantidades y la mayor es la misma que la relación entre la mayor y la menor.

Algunos artistas y arquitectos han considerado que esta proporción es estéticamente agradable. Esta idea puede haber empezado con Jay Hambidge y su teoría de los rectángulos dinámicos. Los matemáticos han estudiado el numero de plata desde la época de los griegos (aunque tal vez sin darle un nombre especial, hasta hace poco) a causa de sus conexiones con la raíz cuadrada de 2, sus covergentes, los números cuadrados triangulares, los números de Pell, octógonos y similares.

En la antigua ciudad de Ostia (Roma), arquitectos
del siglo II d.C. diseñaron un conjunto de edificios a partir de un cuadrado-patrón: el llamado “cuadrado del corte sagrado” en el que se oculta el número de plata: θ= 1 + √2.

Al igual que el número de oro aparece en el pentágono regular, el número de plata lo hace en el octógono regular como la razón entre el lado y la diagonal.

Nos lo encontramos, también, en objetos cotidianos rectangulares y principalmente en rectángulos que encierran logotipos y anuncios en la prensa escrita. La relación entre los lados de estos rectángulos es la del número de plata:
1 y 1+√2 . Por eso se les llama Rectángulo de
Plata.

NÚMERO PLÁSTICO

El número plástico es un término acuñado por el arquitecto y monje Benedictino Hans Dom van der Laan, y se refiere a un sistema por él descubierto de proporciones que generan un orden de tipos de magnitudes, que hacen relaciones de extensión plástica entre sí, en la consecución de relaciones entre elementos de un espacio arquitectónico.

El número plástico es la única solución real de la ecuación:

$x^3=x+1\!\,$

y tiene el valor:

$\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}$

el cual es aproximadamente 1,324718. Es el cociente limitador de los términos sucesivos de la sucesión de Padovan y de la sucesión de Perrin, y lleva la misma relación que el Número áureo hace la sucesión de Fibonacci

El número de plástico no tiene relación con el número de plata. Son términos totalmente distintos.

La proporción humana, la razón cordobesa, el rectángulo cordobés y el número cordobés.

Esta relación es:

Dicho cociente es c = 1,306562964 ... que se conoce como número cordobés
Al ser más fácil construir un octógono regular que un pentágono, dicha proporción se extendió rápidamente quedando de manifiesto en múltiples obras pictóricas y arquitectónicas.

En el siglo noveno despues de Cristo "Los Elementos" de Euclides fue traducido en las escuelas de Córdoba.

Córdoba fue depositaria y única usufructuaria del tesoro euclidiano durante la Edad Media.

Esta situación de privilegiado monopolio terminó por una de las primeras operaciones de espionaje científico que se tiene memoria. En 1120, el británico Adelardo de Bath, previamente adiestrado en el idioma, usos y costumbres y disfrazado de estudiante hispano-árabe, logró introducirse en nuestras escuelas y sacar una copia de "Los Elementos" que fue publicada en 1472.

Hasta 1535, año en que se descubre el texto griego, Europa no cuenta más que con esta traducción árabe.

Con estos antecedentes, era razonable pensar que si en alguna arquitectura pre-renacentista se había empleado racionalmente la proporción áurea, este lugar no podía ser otro que Córdoba.

En unas pruebas realizadas en 1951 en la Diputación de Córdoba, se realizó un test a estudiantes de arquitectura en que se pedía que dibujaran el rectángulo ideal, dando a priori una mayor puntuación a quien racional o instintivamente dibujara el áureo, se detectó que la mayoría había trazado uno, menos esbelto que el armónico, con la proporción aproximada de 1,3. El hecho era suficientemente significativo para ser investigado. La repetición del test con personas nacidas o residentes en Córdoba conducía reiteradamente a esa proporción. La frecuencia de la proporción 1,3 desbordó la debida al cálculo de probabilidades.

Bien podía suceder que si bien el hombre ideal Davinciano debería ser de proporciones divinas, el hombre cordobés es según sus propias características étnicas humano.

El estudio antropométrico en el tallado militar y en las figuras de relieves, esculturas o mosaicos romanos condujo a que los cordobeses romanos han gustado de proporcionar sus figuras humanas según la constante 1,3.

Mosaico de Alcolea (detalle)

Proporción humana o cordobesa

Esculturas romanas, museo arqueológico de Córdoba

Proporción humana

Adan y Eva. Sarcófago. Huerta de la Reina

Proporción humana

Efectuado un rastreo en los edificios cordobeses se detectó dicha proporción. Nos encontramos ante una nueva invariante en la arquitectura cordobesa: la proporción 1,3.

Observemos este hecho en los edificios adjuntos y en los dibujos en los que se refleja una trama de líneas correspondientes a diagonales de rectángulos cordobeses.

Interior de la Mezquita de Córdoba

Puerta de Alhaken II en la Mezquita de Córdoba

Mihrab de la Mezquita de Córdoba

Plano de la Mezquita de Córdoba

Sinagoga de Córdoba

PROPORCIÓN CORDOBESA

¿Cual es esa proporción?
Se llama "rectángulo cordobés" a un rectángulo en el que la longitud de la base dividida entre la longitud de la altura es el número irracional c = 1,306562964..... (número cordobés). Esta proporción se puede obtener como la relación entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y el lado de éste.

Dicho cociente es el número antes mencionado c = 1,306562964 ...

Detalle de cómo obtener el rectángulo cordobés a partir de la circunferencia circunscrita al octógono regular.

Más: La configuración de las pantallas de ordenador ( 800x600, 1.024x768, .....). son prácticamente rectángulo cordobeses.

SUCESIÓN DE FIBONACCI

En Matemática, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 \ldots \,$

La sucesión inicia con $0$ y $1$ , y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.

A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo Da Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.

La sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas. Para que resulte más sencillo las hemos enunciado en casos particulares (aunque se cumplen en general) y hemos calculado los primeros catorce términos de esta sucesión:

t₁

t₂

t₃

t₄

t₅

t₆

t₇

t₈

t₉

t₁₀

t₁₁

t₁₂

t₁₃

t₁₄

144

233

377

Si sumas los cuatro primeros términos y añades 1, te sale el sexto (1+1+2+3 + 1 = 8). Si sumas los cinco primeros términos y añades 1, te sale el séptimo (1+1+2+3+5 + 1 = 13).
Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar (t₁,t₃,t₅) sale el sexto término (t₆), (1+2+5 = 8). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición impar (t₁,t₃,t₅,t₇) sale el octavo término (t₈), (1+2+5+13 = 21).
Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición par (t₂,t₄,t₆) y añades 1, sale el séptimo término (t₇), (1+3+8 + 1 =13). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición par (t₂,t₄,t₆,t₈) y añades 1, sale el noveno término (t₉), (1+3+8+21 + 1 =34).

¡Aún las hay más difíciles de imaginar!

Tomemos dos términos consecutivos, por ejemplo: t₄=3 y t₅=5; elevando al cuadrado y sumando: 3²+5²=9+25=34 que es el noveno (4+5) término de la sucesión. Tomando t₆=8 y t₇=13; elevando al cuadrado y sumando: 8²+13²=64+169=233 que es el (6+7) decimotercer término de la sucesión.
Pero si elevamos al cuadrado los cinco primeros términos y los sumamos, sale el producto del quinto y el sexto término: 1²+1²+2²+3²+5²=40=5*8. Si hacemos lo mismo para los seis primeros términos, sale el producto del sexto y el séptimo término:1²+1²+2²+3²+5²+8²=104=8*13.
Y quizás la más sorprendente sea la siguiente propiedad. Dividamos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos:

1 : 1   = 1
   2 : 1   = 2
   3 : 2   = 1´5
   5 : 3   = 1´66666666
   8 : 5   = 1´6
  13 : 8   = 1´625
  21 :13 = 1´6153846....
  34 :21 = 1´6190476....
  55 :34 = 1´6176471....
  89 :55 = 1´6181818....

Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de oro. Cuanto mayores son los términos, los cocientes se acercan más a =1,61803.... En lenguaje matemático,

Efectivamente,

- La espiral logarítmica
  Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.
  Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.
  La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.
  
  En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.

Pitágoras y el número de oro

Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en la isla de Samos. Fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.

orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la trasmigración del alma. Se dice que el propio PitágorasEuphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias previas.

Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Una revuelta provocada en Crotona, por una asociación de ideas contrarias a las pitagóricas, terminó con el incendio de la sede. Se cree que Pitágoras se vio obligado a huir de Crotona y murió en Metaponto. La persecución de los pitagóricos provocó el éxodo a la Grecia Continental, dando lugar a la difusión de las ideas pitagóricas.

La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el numero de oro.

Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro.

También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en proporción áurea.

POEMA

A ti, maravillosa disciplina,

media, extrema razón de hermosura

que claramente acata la clausura

viva en la malla de tu ley divina.

A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el universo armónico origina.

A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro.

Rafael Alberti

Curiosidades áureas

Potencias. Los números guardan unas curiosas relaciones entre si. Efectivamente, podemos deducirlas a partir de la ecuación que tiene como solución el número de oro:

Potencias 2. Consideremos la sucesión de término general: . Si calculamos los primeros términos, podemos observar una curiosa relación entre ellos. Calculando primero algunas potencias

podemos concluir que la sucesión dada se convierte en

Evidentemente, cada término a partir del tercero se puede obtener sumando los dos anteriores. Lo curioso es que esta relación es la misma que se verifica en la sucesión de Fibonacci.

Limites. Comprobemos que los siguientes límites dan como resultado el número de oro:
1 2

1. Llamemos "L" al valor del límite. Fácilmente se comprueba que se verifica la ecuación . Elevando al cuadrado los dos miembros y pasando todos los términos a la izquierda se obtiene la ecuación final . Una de las soluciones de esta ecuación es nuestro número de oro .

2. Sea "M" el valor del límite. Se comprueba la relación . Quitando denominadores y pasando todos los términos a la izquierda se obtiene la ecuación cuya solución positiva es el número de oro.

LA REGLA ÁUREA

La regla o sección áurea es una proporción entre medidas. Se trata de la división armónica de una recta en media y extrema razón. Esto hace referencia a que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad de la recta. O cortar una línea en dos partes desiguales de manera que el segmento mayor sea a toda la línea, como el menor es al mayor.

De esta forma se establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor, esto es un resultado similar a la media y extrema razón. Esta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea, se adopta como símbolo de la sección áurea (Æ), y la representación en números de esta relación de tamaños se llama número de oro = 1,618.

A lo largo de la historia de las artes visuales han surgido diferentes teorías sobre la composición. Platón decía: es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera, hace falta una relación entre ellas que los ensamble, la mejor ligazón para esta relación es el todo. La suma de las partes como todo es la más perfecta relación de proporción.

Vitruvio, importante arquitecto romano, acepta el mismo principio pero dice que la simetría consiste en el acuerdo de medidas entre los diversos elementos de la obra y estos con el conjunto. Inventó una fórmula matemática, para la división del espacio dentro de un dibujo, conocida como la sección áurea, y se basaba en una proporción dada entre los lados mas largos y los más cortos de un rectángulo. Dicha simetría está regida por un modulo común, que es el número. Definido de otra forma, bisecando un cuadro y usando la diagonal de una de sus mitades como radio para ampliar las dimensiones del cuadrado hasta convertirlo en "rectángulo áureo". Se llega a la proporción a:b = c:a.

Dicho esto, y según Vitruvio, se analiza que al crear una composición, si colocamos los elementos principales del diseño en una de las líneas que dividen la sección áurea, se consigue el equilibrio entre estos elementos y el resto del diseño.

SECCION

ÁUREA

Hagamos un experimento: dibujemos una recta de la dimensión que deseemos. Fijémonos bien en ella , después, dividámosla en dos partes desiguales mediante un pequeño trazo, de tal manera que los dos segmentos sean equilibrados y proporcionalmente agradables. Tras esto midámoslas, podremos comprobar que la menor es aproximadamente un 62% de la mayor y que ésta es un 62% de la recta completa. Fray Paciolo di Borgo, monje italiano, enuncio en el 1509 una fórmula matemática cuya aplicación da una constante a la que denominó Número de Oro o Divina Proporción. Ya utilizada en la antigüedad ésta Divina Relación se encuentra cuando, realizando el ejercicio anterior, el segmento menor, es al segmento mayor, como este es a la suma de ambos, es decir, a la totalidad de la recta. Este número equivale al 62% y es exactamente 0.618.